第二次世界大战是人类历史上截至目前为止最凶残的一场战争。这场战争波及了当时世界上几乎所有的主要国家，共计夺走了上千万条人命。光是在欧洲一地，第二次世界大战便带走了将近三分之一的人口。
众所皆知的是，第二次世界大战最后是以美国为首的盟军取得胜利。当时的美国挟带着厚实的经济基础及庞大的空军优势，带领着盟军击败了纳粹德国及日本，重新为世界带来和平的曙光。
上图：美军P51轰炸机群前往柏林进行轰炸。
然而，许多人可能不知道的是，美国在第二次世界大战期间的表现，不仅仰赖在生产线上制作武器的工人及在前线战场上勇敢杀敌的士兵，也于很大程度上仰赖在后方努力工作的数学家与科学家。若非这些数学家与科学家，美国恐怕很难在战场上取得先机，击败当时称得上科技强权的轴心国。
亚伯拉罕.瓦尔德（1902—1950）便是其中一位在第二次世界大战期间为美国政府效力的数学家。拜他所赐，美国空军才能够以优异的作战能力击败纳粹德国，为盟军登陆欧陆进行反攻提供了绝佳的制空条件。
瓦尔德在1902年出生于奥匈帝国统治下的工业重镇克劳森堡，大学期间在维也纳大学攻读数学，并在毕业后短暂地进入奥地利经济研究所服务，基本上是一个地地道道的欧洲人。
然而，作为犹太裔的欧洲人，瓦尔德在纳粹德国于1938年合并奥地利时，为了躲避盖世太保的追捕，在美国经济学研究机构考尔斯基金会的资助下来到了美国，并很快地以其卓越的数学技能被美国政府挖角到哥伦比亚大学参与统计研究组的工作。他在小组当中的主要工作，是替美国军方分析各种数据，并根据分析结果提供适当的军事建议。
当时，美国军方希望能够整体提升美军战机的性能。他们一方面希望能够增强战机的装甲好防御敌军子弹，但另外一方面又希望避免装了太厚的装甲会导致机身过重，引起耗油量过大或灵活度降低的问题。
美国军方藉由观察从前线返回的战机发现，敌军子弹所造成的弹孔大多分布在机翼及机身上。为此，他们把这项任务交给了瓦尔德，希望瓦尔德能够用数学发展出一套公式，计算出装在机翼及机身的钢板最好应该是多厚，才能有效地防御敌军子弹，又不致导致耗油量过大或灵活度降低。
美国军方把这项任务交给瓦尔德时，本来希望能够尽快地解决这个问题，好让他们马上为上前线作战的战机加装适量厚度的钢板。然而，他们没有想到的是，瓦尔德竟然提供给了他们一个完全不同的回答。
瓦尔德在观察了军方所提供的各种数据后，强烈主张军方不应当在容易中弹的机翼及机身加装钢板，相反地应当在弹孔最少的地方——引擎及座舱加装钢板。
和军方的统计分析师不一样的是，瓦尔德作为一名数学家，是以数学家的角度来思考上面的问题。他采用了任何一个数学家都会采用的方式来思考这个问题——他在思考任何问题前都会先提出一个合理的假设，再从这个假设出发去理解他所能掌握的资讯或讯息。
在面对美国军方交给他的任务时，软件开发app多少钱他先提出了一个合理的假设——敌军的子弹不长眼睛，不可能只专门攻击我军战机的特定部位。也就是说，敌军子弹在战机上所造成的弹孔在理论上说起来应该是随机分布，不应只特定集中在机翼及机身。
然而，实际观察相关数据后，瓦尔德发现军方所提供的数据显示大多数弹孔都位在特定部位——也就是机翼及机身上。于是，瓦尔德反问：“
那些引擎及座舱部位中弹的战机都到哪里去了呢？”
上图：美国军方发现弹孔多分布于机翼及机身（引擎及座舱较少）。
经过仔细地检查数据后，瓦尔德惊讶地发现那些其他部位中弹的战机并不是不存在，而是没有出现在军方所收录的数据内。也就是说，那些引擎或座舱中弹的战机，都已经在外海坠毁回不来了！
在这样子的基础上，瓦尔德发现战机的机翼及机身中弹并不会构成什么太大的危险——毕竟，许多战机在机翼及机身中弹后，仍然能够安然返回。但战机的引擎及座舱一旦中弹，顺利生还的机会就微乎其微了！
为此，瓦尔德努力游说军方在引擎及座舱装设能够有效抵御敌军子弹的装甲，最后终于成功地大幅降低了战机受到攻击坠毁的几率，并提升了美国战机在战场上的表现及作战能力。
瓦尔德在第二次世界大战期间所发现的这种情形——也就是军方忽略了那些被击落坠毁的战机，仅把那些顺利从前线返回的战机作为整体战机样本的情形——这种情况后来被称为“幸存者偏差”。
从后人的角度来看，我们很难说瓦尔德在第二次世界大战的作为是导致美国赢得第二次世界大战的关键。然而，无疑的是，若非瓦尔德在当时发现了后来著名的、人类思考的盲点“幸存者偏差”，显然会有更多军民命丧于战场。
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为什么瓦尔德能看到军官们无法看到的问题？根本原因是瓦尔德在数学研究过程中养成的思维习惯。
从事数学研究的人经常会询问：“你的假设是什么？这些假设合理吗？”
而上面的军官们在不经意间做出了一个假设：返航飞机是所有飞机的随机样本。如果这个假设真的成立，我们仅依据幸存飞机上的弹孔分布情况就可以得出结论。但是，一旦认识到自己做出了这样的假设，我们立刻就会知道这个假设根本不成立，因为我们没有理由认为，无论飞机的哪个部位被击中，幸存的可能性是一样的。用数学语言来说，飞机幸存的概率与弹孔的位置具有相关性。
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